BAB I
Tujuan
Tujuan pembuatan makalah ini adalah :
·
Mempelajari statistika
secara mendalam dan teoritis (penurunan sifat-sifat, dalil, rumus, penciptaan
model).
·
Mempelajari statistika
semata-mata dari segi penggunaannya.Cara ini dikenal dengan metode statistika
terapan.
·
Mengetahui cara pengujian hipotesis
deskriptif (satu sampel)
·
Mengetahui pengelompokkan
Statistika inferensia( statistika parametris dan nonparametris)
·
Dapat menyelesaikan soal-
soal yang berkaitan dengan statistika parametris dan non parametris
BAB II
Landasan Teori
Secara umum statistik dapat diartikan sebagai suatu cara untuk
mendapatkan informasi dari data. Secara lebih detail, arti statistik dapat
dikelompokan menjadi tiga yaitu:
1.
Statistik diartikan
sebagai pelaporan sekumpulan data, misalnya statistik sepakbola,
statistik penduduk dan sebagainya.
2.
Statistik adalah
kuantitas yang dihitung dari sekumpulan data, contohnya: proporsi, rata-rata
dan sebagainya..
3.
Statistik juga diartikan
sebagai suatu disiplin ilmu dan seni dalam membuat inferensia dari suatu
spesifik unit untuk sesuatu yang general.
Data adalah sesuatu yang dianggap dapat memberikan gambaran
tentang suatu keadaan atau persoalan. Data dianggap sebagai sesuatu yang
belum tentu benar, namun dalam prakteknya anggapan atau asumsi sering digunakan
sebagai dasar pengambilan keputusan, misalnya karena pemerintah menganggap
persediaan stok beras cukup karena data produksi padi menunjukan adanya
peningkatan, maka diputuskan tidak mengimpor beras. Oleh karena suatu anggapan
atau asumsi itu belum tentu benar, maka apabila digunakan sebagai dasar
pembuatan keputusan, keputusan itu masih bisa keliru atau salah. Maka dari itu
secara statistik anggapan yang merupakan hipotesis harus diuji terlebih dahulu.
Bicara statistik berarti bicara sampel. Sampel adalah bagian
anggota populasi yang dijadikan objek penelitian. Populasi adalah
sekumpulan objek yang lengkap dan jelas yang ingin dipelajari sifat-sifatnya.
Kegiatan untuk meneliti semua objek (populasi) disebut kegiatan sensus, contoh:
sensus penduduk, sensus pertanian, dsb. Kegiatan meneliti sebagian
populasi yang menjadi objek terpilih disebut survei. Ukuran deskriptif
dari sebuah populasi adalah parameter, sedangkan ukuran deskriptif dari sebuah
sampel adalah statistik. Jadi populasi mempunyai parameter sedangkan
sampel mempunyai statistik. Data hasil sensus dapat dianalisis dengan
cara deskriptif. Data hasil survei dapat dianalisis dengan cara deskriptif dan
inferensia. Inferensiaadalah suatu bentuk pengambilan keputusan di mana
termasuk didalamnya pernyataan, penjelasan, perbandingan, estimasi,
proyeksi, dsb.
Metode statistik dapat dikelompokan menjadi dua, yaitu
statistik parametrik dan statistik nonparametrik. Pengujian parametrik
merupakan cara menguji hipotesis yang didasarkan pada beberapa asumsi:
1.
observasi sampel harus
dipilih dari populasi yang dianggap memiliki distribusi normal.
2.
dalam kasus pengujian
beda 2 parameter atau lebih, populasi-populasi tersebut bukan saja
dianggap memiliki distribusi normal tetapi juga memiliki varians yang sama
(asumsi homoskedastisitas).
Keabsahan
asumsi tersebut menentukan sejauhmana hasil uji parametrik tersebut berarti
atau tidak. Sedangkan metode nonparametrik tidak pernah merumuskan asumsi
mengenai populasi darimana sampelnya dipilih. Metode statistik yang
digunakan pada statistik nonparametrik adalah yang berhubungan dengan data yang
berbentuk ranking atau data kualitatif (skala nominal atau ordinal) atau data
kuantitatif yang tidak berdistribusi normal. Oleh karena itu statistik
nonparametrik seringkali disebut dengan statistik bebas distribusi. Pada
statistik nonparametrik, kita akan menguji karakteristik populasi tanpa
menggunakan spesifik parameter. Oleh karena itu statistik uji ini disebut
dengan statistik nonparametrik yaitu akan menguji apakah lokasi populasi
berbeda dari pada menguji apakah rata-rata populasi berbeda.
Perlu disadari bahwa uji
nonparametrik selayaknya tidak digunakan apabila uji parametrik dapat
diterapkan, karena tingkat keampuhan uji nonparametrik lebih rendah dari pada
uji parametrik. Namun anda sebagai pengambil keputusan atau peneliti jangan
salah menafsirkan bahwa derajat kegunaan metode statistik nonparametrik dibawah
metode statistik parametrik. Tentu saja tidak demikian, masing-masing
metode dibuat dengan spesifikasi khusus sesuai dengan macam data yang
digunakan. Peningkatan keampuhan uji nonparametrik harus dengan
memperbesar sampel. Namun seperti kita ketahui memperbesar sampel berarti
akan menambah biaya, waktu, dll.
STATISTIK PARAMETRIK
Statistik Parametrik, yaitu ilmu statistik yang mempertimbangkan jenis sebaran atau
distribusi data, yaitu apakah data menyebar secara normal atau tidak. Dengan
kata lain, data yang akan dianalisis menggunakan statistik parametrik harus
memenuhi asumsi normalitas. Pada umumnya, jika data tidak menyebar normal, maka
data seharusnya dikerjakan dengan metode statistik non-parametrik, atau
setidak-tidaknya dilakukan transformasi terlebih dahulu agar data mengikuti
sebaran normal, sehingga bisa dikerjakan dengan statistik parametrik.
Contoh metode statistik parametrik :
a. Uji-z (1 atau 2 sampel)
b. Uji-t (1 atau 2 sampel)
c. Korelasi pearson,
d. Perancangan percobaan (one or two-way anova
parametrik), dll.
Ciri-ciri statistik parametrik :
Data dengan skala
interval dan rasio
Data
menyebar/berdistribusi normal
Keunggulan dan kelemahan statistik parametrik
Keunggulan :
1.
Syarat syarat parameter
dari suatu populasi yang menjadi sampel biasanya tidak diuji dan dianggap
memenuhi syarat, pengukuran terhadap data dilakukan dengan kuat.
2.
Observasi bebas satu sama
lain dan ditarik dari populasi yang berdistribusi normal serta memiliki varian
yang homogen.
Kelemahan
:
1.
Populasi harus memiliki
varian yang sama.
2.
Variabel-variabel yang
diteliti harus dapat diukur setidaknya dalam skala interval.
3.
Dalam analisis varian
ditambahkan persyaratan rata-rata dari populasi harus normal dan bervarian
sama, dan harus merupakan kombinasi linear dari efek-efek yang ditimbulkan.
STATISTIK
NON-PARAMETRIK
Statistik Non-Parametrik, yaitu statistik bebas sebaran (tidak mensyaratkan bentuk
sebaran parameter populasi, baik normal atau tidak). Selain itu, statistik
non-parametrik biasanya menggunakan skala pengukuran sosial, yakni nominal dan
ordinal yang umumnya tidak berdistribusi normal.
Contoh metode statistik non-parametrik :
a. Uji tanda (sign test)
b. Rank sum test (wilcoxon)
c. Rank correlation test (spearman)
d. Fisher probability exact test.
e. Chi-square test, dll
Ciri-ciri statistik non-parametrik :
- Data tidak berdistribusi
normal
-Umumnya data berskala nominal dan ordinal
- Umumnya dilakukan pada penelitian sosial
- Umumnya jumlah sampel kecil
Keunggulan dan kelemahan statistik non-parametrik :
Keunggulan dan kelemahan statistik non-parametrik :
Keunggulan :
1. Tidak membutuhkan asumsi normalitas.
2. Secara umum metode statistik non-parametrik lebih mudah
dikerjakan dan lebih mudah dimengerti jika dibandingkan dengan statistik
parametrik karena ststistika non-parametrik tidak membutuhkan perhitungan
matematik yang rumit seperti halnya statistik parametrik.
3. Statistik non-parametrik dapat digantikan data numerik
(nominal) dengan jenjang (ordinal).
4. Kadang-kadang pada statistik non-parametrik tidak dibutuhkan
urutan atau jenjang secara formal karena sering dijumpai hasil pengamatan yang
dinyatakan dalam data kualitatif.
5. Pengujian hipotesis pada statistik non-parametrik dilakukan
secara langsung pada pengamatan yang nyata.
6. Walaupun pada statistik non-parametrik tidak terikat pada
distribusi normal populasi, tetapi dapat digunakan pada populasi berdistribusi
normal.
Kelemahan :
1. Statistik non-parametrik terkadang mengabaikan beberapa
informasi tertentu.
2. Hasil pengujian hipotesis dengan statistik non-parametrik tidak
setajam statistik parametrik.
3. Hasil statistik non-parametrik tidak dapat diekstrapolasikan ke
populasi studi seperti pada statistik parametrik. Hal ini dikarenakan statistik
non-parametrik mendekati eksperimen dengan sampel kecil dan umumnya
membandingkan dua kelompok tertentu. (Khairul Amal)
Contoh
soal latihan dan soal evaluasi
I.
Soal
Statistik Paramatetrik
1.
Uji-Z dua pihak
Contoh kasus
Sebuah pabrik pembuat bola lampu pijar merek A
menyatakan bahwa produknya tahan dipakai selama 800 jam, dengan standar deviasi
60 jam. Untuk mengujinya, diambil sampel sebanyak 50 bola lampu, ternyata
diperoleh bahwa rata-rata ketahanan bola lampu pijar tersebut adalah 792 jam.
Pertanyaannya, apakah kualitas bola lampu tersebut sebaik yang dinyatakan
pabriknya atau sebaliknya?
Hipotesis
H0 : = μ (rata ketahanan bola lampu pijar
tersebut sama dengan yang dinyatakan oleh pabriknya)
HA : ≠ μ (rata ketahanan bola lampu pijar
tersebut tidak sama dengan yang dinyatakan oleh pabriknya)
Analisis
Nilai Ztabel dapat diperoleh dari Tabel 1. Dengan
menggunakan Tabel 1, maka nilai Z0,025 adalah nilai pada perpotongan á baris
0,02 dengan á kolom 0,005, yaitu 1,96. Untuk diketahui bahwa nilai Zá adalah
tetap dan tidak berubah-ubah, berapapun jumlah sampel. Nilai Z0,025 adalah 1,96
dan nilai Z0,05 adalah 1,645.
Tabel 1. Nilai Z dari luas di bawah kurva normal
baku
Kriteria
Pengambilan Kesimpulan
Jika
|Zhit| < |Ztabel|, maka terima H0
Jika
|Zhit| ≥ |Ztabel|, maka tolak H0 alias terima HA
Kesimpulan
Karena
harga |Zhit| = 0,94 < harga |Ztabel |= 1,96, maka terima H0
Jadi, tidak ada perbedaan yang nyata antara
kualitas bola lampu yang diteliti dengan kualitas bola lampu yang dinyatakan
oleh pabriknya.
2. Uji Z satu pihak
Contoh
kasus
Pupuk
Urea mempunyai 2 bentuk, yaitu bentuk butiran dan bentuk tablet. Bentuk butiran
lebih dulu ada sedangkan bentuk tablet adalah bentuk baru. Diketahui bahwa
hasil gabah padi yang dipupuk dengan urea butiran rata-rata 4,0 t/ha. Seorang
peneliti yakin bahwa urea tablet lebih baik daripada urea butiran. Kemudian ia
melakukan penelitian dengan ulangan n=30 dan hasilnya adalah sebagai berikut:
Hasil
Gabah padi dalam t/ha
|
4,0
|
5,0
|
6,0
|
4,2
|
3,8
|
6,5
|
4,3
|
4,8
|
4,6
|
4,1
|
|
4,9
|
5,2
|
5,7
|
3,9
|
4,0
|
5,8
|
6,2
|
6,4
|
5,4
|
4,6
|
|
5,1
|
4,8
|
4,6
|
4,2
|
4,7
|
5,4
|
5,2
|
5,8
|
3,9
|
4,7
|
Hipotesis
H0 : =
(rata-rata hasil gabah padi yang dipupuk dengan pupuk urea tablet sama dengan
padi yang dipupuk dengan urea butiran)
HA : > (rata-rata hasil gabah padi yang
dipupuk dengan pupuk urea tablet lebih tinggi dari padi yang dipupuk dengan
urea butiran)
Analisis
= 4,0
t/h
= 4,9
t/h
S =
0,78 digunakan sebagai estimasi σ
Zhit =
(yt – yb)/(σ/√n)
= (4,0 – 4,9)/(0,78/√30 = – 6,4286
Ztabel
= Zα= Z0,05 =
1,645
Kriteria
Pengambilan Kesimpulan
Jika
|Zhit| < |Ztabel|, maka terima H0
Jika
|Zhit| ≥ |Ztabel|, maka tolak H0 alias terima HA
Kesimpulan
Karena
harga |Zhit| = 6,4286 > harga |Ztabel |= 1,645, maka tolak H0 alias terima
HA
Jadi, rata-rata hasil gabah padi yang dipupuk
dengan pupuk urea tablet nyata lebih tinggi dari padi yang dipupuk
dengan urea butiran
3. Suatu populasi berjumlah 1000, data
sampel diambil secara acak sebanyak 200 subjek. Rata-rata sampel = 40 dan
simpangan baku=10, ditanyakan:
Berapa
persen subjek yang memperoleh skor antara 0 sampai dengan 55? Dengan asumsi
bahwa data diambil dari populasi yang berdistribusi normal.
Penyelesaian
:
Pertama
:
Mengubah
skor 40 dan 55 ke dalam skor baku (skor z) yaitu sebagai berikut :
Melihat
tabel z antara z= 0,00 ke z= 1,50; maka pada kolom pertama dilihat pada nilai
z=1,5, pada baris pertama pada nilai =0, maka didapatkan nilai 4332,
atau=0,4332.
Dengan
nilai sebesar 0,4332 maka dapat disimpulkan bahwa jumlah subjek yang mempunyai
skor antara 0-55 adalah 43,32%, jika diterapkan pada populasi maka kurang lebih
ada sekitar 43,32% x 1000=433 subjek.
Berapa persen subjek yang memperoleh
skor diatas 55? Dengan asumsi bahwa data diambil dari populasi yang berdistribusi
normal.
Penyelesaian
:
Penyelesaian
pertanyaan adalah sebagai berikut :
-
Pertanyaan
sebelumnya, menemukan harga z untuk skor 55, yaitu 1,50.
-
Luas
setengah kurva normal (0<
adalah 0,500 atau 50%
)
adalah 0,500 atau 50%
)
-
Jika
luas antara 0-1,50 adalah 0,4332 (lihat jawaan terhadap soal pertama),
-
Maka
luas daerah untuk z>1,50 adalah 0,5-0,4332=0,0668
-
Sehingga
subjek yang bernilai >55 adalah 6,68%, atau sekitar 6,68%x1000=66,8 atau
sekitar 67 orang.
II.
Soal
Statistik Non-Parametrik
1. Uji Binominal
a.
PT. Mena Jaya farm (MJF) mengirim sebuah semangka
ke hero supermarket. Dengan jaminan kualitas yang baik, maka 90% semangka yang
dikirim lolos seleksi oleh Hero Supermarket. PT. MJF setiap hari mengirim 15
buah semangka dengan berat antara 5-6 kg.
a)
Berapa
probabilitas 25 buah semangka?
b)
Berapa
probabilitas 13 buah semangka?
c)
Berapa
probabilitas 10 buah yang diterima?
Penyelesaian:
a)
Probabilitas
15 buah yang di terima semua
n= 15 p= 90%=0,9
r= 15 q=
10% = 0,1
b)
Probabilitas
2 ditolak atau 13 buah diterima semua
n= 15 p= 90%= 0,9
r= 13 q=10% =0,1
c)
Probabilitas
10 buah diterima semua
n=15 p=90%=0,9
r= 10 q=0,1
Jadi, probabilitas untuk diterima 15
adalah 20,6%; diterima 13 buah sebesar 26,7%; dan diterima 10 buah
probabilitasnya adalah 10,0%
b.
Penelitian tentang kecenderungan Ibu
hamil memilih tempat bersalin di Polindes atau di Puskesmas. Jumlah sampel 24
Ibu hamil, 14 Ibu hamil memilih di Polindes, 10 Ibu hamil memilih di Puskesmas
•
Ho = peluang Ibu hamil memilih tempat bersalin di Polindes atau Puskesmas
adalah sama, yaitu 50%
•
Ho = p1 = p2 = 0,5
•
Sampel (n) = 24
•
Frekuensi kelas terkecil (x) = 10
•
Tabel (n=24, x=10) didapat koefisien binomial (p) = 0,271
•
Bila taraf kesalahan (α)
ditetapkan 1% = 0,01
•
p = 0,271 > 0,01 maka Ho diterima
KESIMPULAN
Kemungkinan Ibu hamil memilih tempat bersalin di Polindes atau di Puskesmas
adalah sama yaitu 50 %
c.
Sebuah
industry rumah tangga yang memproduksi keranjang dari daur ulang plastic dengan
jaminan kualitas bahan yang baik,maka 90% keranjang yang dikirim ke sebuah
supermarket lulus seleksi. Industry tersebut mengirim 10 buah keranjang setiap
minggunya.
Pertanyaan
:
a)
Berapa
probabilitas 10 keranjng diterima?
b)
Berapa
probabilitas 5 keranjang diterima?
Penyelesaian :
a)
Probabilitas
10 keranjang diterima semua
b)
Probabilitas
5 keranjang diterima
d.
Sebuah
studi berminat melakukan uji fluorescent antibody guna meneliti adanya reaksi
serum setelah pengobatan pada penderita malaria falcifarum. Dari 25 subjek yang
telah disembuhkan, 15 subjek ditemukan bereaksi positif. Jika sampel itu
memenuhi semua asumsi yang mendasari uji binomial, dapatkah kita menyimpulkan
dari data itu bahwa proporsi reaksi positif dalam populasi yang bersangkutan
adalah lebih besar dari 0,5? Misalkan α = 0,05 (Wayne
W.Daniel, 2003, hal 67).
HIPOTESA
Ho : p ≤ 0,5 dan Ha: p > 0,5
PERHITUNGAN
Dari tabel binomial, dengan n=25, x-1=14 dan Po=0,5, untuk uji satu sisi dengan P = 15/25 = 0,6 > po =0,5, diperoleh nilai p :
HIPOTESA
Ho : p ≤ 0,5 dan Ha: p > 0,5
PERHITUNGAN
Dari tabel binomial, dengan n=25, x-1=14 dan Po=0,5, untuk uji satu sisi dengan P = 15/25 = 0,6 > po =0,5, diperoleh nilai p :
14 25!
p=P(X ≥ 15) = 1 - ∑ -------------- 0,5k 0,525-k
k=0 25! (25-k)!
= 1 – 0,7878 = 0,2122
Karena p = 0,2122 > 0,05. maka Ho gagal ditolak, sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa proporsi reaksi serum di antara populasi yang telah mendapat pengobatan malaria tidak dapat dikatakan lebih besar secara bermakna dari 0,5.
e.
Perusahaan sukses makmur suatu jenis makanan
yang dikemas dalam dua kelompok warna yaitu kuning emas dan metalik .
perusahaan tersebut ingin mengetahui apakah masyarakat lebih senang makanan
yang dibungkus warna kuning atau warna metalik . berdasarkan 23 sample yang
dipilih seccara acak 13 senang dengan warna kuning emas dan 10 orang senang
dengan warna metalik .
Judul :
kecenderungan masyarakat memilih jenus makanan
H0 : jumlah masyarakat yang memilih jenis makanan yang
berbungkusnya berwarna kuning emas dan berwarna metalik sama ( p1=p2=05
)
H1 : jumlah masyarakat yang memilih makanan yang berbungkus
berwarna kuning emas dan berwarna metalik berbeda ( p1 
p2 0.5 )
p2 0.5 )
Binominal test
|
|
|
Category
|
N
|
Observer prov
|
Test prov
|
Exact sig
( 2 -tailed)
|
|
Bungkus
|
Group 1
|
Kuning emas
|
13
|
,57
|
,50
|
,678
|
|
Makanan
|
Group 2
Total
|
Metalik
|
10
23
|
43
1,00
|
|
|
Analisis : oleh karna exact sig < 0.05 makan H0
ditolak ,artinya da perbedaan bagi masyarakat atas jenis makanan yang
bungkusnya berwarna kuning emas dan metalik . buktinya 57% memilih bungkus
makanan berwarna kuning emas , dan 43 % memilih bungkus makanan berwarna
metalik .
f.
Suatu
perusahaan makmur memproduksi jenis minumandalam dua bagian warna yaitu hitam
dan putih . perusahaan tersebut ingin mengetahui masyarakat lebih senang
bungkus yang berwarna hitam atau putih . berdasarkan sample yang dipilih secara
acak 14senang berwarna putih dan 6 orang senang dengan warna hitam .
Judul :
kecenderungan masyarakat memilih jenis minuman
H0 :
jumlah masyarakat yang memilih jenis minuman yang bungkusnya berwarna hitam dan
putih sama ( p1=p2=05 )
H1 :
jumlah masyarakat yang memilih jenis minuman yang bungkusnya berwarna hitam dan
putih berbeda ( p1 p2 0.5 )
p2 0.5 )
Binominal
test
|
|
|
Category
|
N
|
Observer prov
|
Test prov
|
Exact sig
( 2 -tailed)
|
|
Bungkus
|
Group 1
|
Hitan
|
6
|
,30
|
,50
|
,115
|
|
Minuman
|
Group 2
Total
|
Putih
|
14
20
|
70
1,00
|
|
|
oleh karna exact sig < 0.05 makan H0
ditolak ,artinya ada perbedaan bagi masyarakat atas jenis minuman yang
bungkusnya berwarna hitam dan putih . buktinya 70% memilih bungkus minuman
berwarna putih , dan 30% memilih bungkus minuman berwarna hitam
g.
Kepala bagian produksi PT. Gadung
melaporkan bahwa rata-rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi
adalah sebesar 15%. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak
sebanyak 4 buah televise. Berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2?
Jawab ;
P (rusak) = 0,15 , q (baik) = 0,85 , x = 2 , n =
4
Rumus =
b(x:n:p) = nCx px q n-x
= b (x=2 : 4 : 0,12)
= 4 (2(0,15) 2(0,85)(4-2)
= 0,0975
h.
Sebuah dadu dilemparkan keatas
sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut;
a.
Mata dadu 5 muncul 1 kali
b.
Mata dadu genap muncul 2 kali
c.
Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4
kali
Jawab ;
a.
Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu
1,2,3,4,5,6 sehingga setiap sisi memiliki probabilitas 1/6. Jadi probabilitas
untuk mata satu adalah 1/6, sehingga:
p = 1/6 ; q = 5/6 ; n=4 ; x=1 (muncul satu
kali)
p(x=1) = C1
= 4.p1.q3
= 4 (1/6) 1 (5/6) 3
= 0,366
b.
Mata dadu genap ada 3, yaitu 2,4 dan
6, sehingga;
P = 3/6 = ½ ; q =
½ ; n = 4 ; x=2
P(x=2) = C1
= 4.P2.q2
= 4 (1/2) 2 (1/2) 2
= 0,375
c.
Muncul mata dadu 2 atau 6 sebanyak 4
kali, sehingga;
P = 2/6 ; q = 2/3 ; n=4 ; x=4
P(x=4)=C1
=4.p4.q0.p.q
=1(2/6) 4(2/3)0
=0,0123
Tidak ada komentar:
Posting Komentar